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¿Cuánto tiempo tardamos en alcanzar un capital con aportaciones mensuales?

En esta entrada calculamos el tiempo necesario para obtener un capital D con aportaciones mensuales a un determinado tipo de intereés. Los cálculos están basados en los que hicimos en la entrada Cálculo del capital obtenido a largo plazo con una inversión mensual

Planteamiento del problema

Voy a suponer que cada mes invierto un capital C a una tasa de interés r en tanto por uno mensual. ¿Cuántos años tardo en tener un capital D?

Para resolver este problema, voy a exigir que el capital final obtenido con una inversión mensual sea D.

Capital obtenido al cabo de N meses

Lo hemos calculado en el post Capital obtenido con una inversión mensual y la fórmula es

Capital final

Sustituyendo el Capital final por D y tomando como incógnita el número de meses N obtenemos que el número de meses es

Meses para obtener el capital final

Los resultados

Quizá las fórmulas no nos digan mucho pero con la siguiente tabla nos haremos una idea mejor. Veamos cuáles es el número de meses N en que se obtiene el capital D=400.000 euros para distintos valores de C y r.

Capital mensual (C)
Tanto por uno mensual (r)
Tanto por ciento anual Capital final(D) Meses (N)
Años
700€ 0,0075 9 400.000€ 222 18,5
300€ 0,0075 9 400.000€ 320 26,7
100€ 0,0075 9 400.000€ 458,6 38,2
700€ 0,005 6 400.000€ 269,9 22,5
300€ 0,005 6 400.000€ 407,5 34
100€ 0,005 6 400.000€ 609,5 50,8

Así, si queremos obtener 400.000 euros invirtiendo 700 euros al mes al 9% anual, necesitaremos 18,5 años de inversión. En el otro extremo, si queremos obtener 400.000 euros invirtiendo 100 euros al mes al 6% de interés anual, necesitaremos 50,8 años de inversión.

Cálculo del tiempo para doblar un capital

En esta entrada calculamos el tiempo necesario para doblar un capital C. Los cálculos son parecidos a los que hicimos en la entrada Cálculo del capital obtenido a largo plazo con una inversión mensual

Planteamiento del problema

Voy a suponer que cada año invierto un capital C a una tasa de interés r en tanto por uno anual. ¿Cuántos años tardo en tener un capital 2*C?

Para resolver este problema, voy a ver el capital final obtenido a partir del capital invertido cada año y, por último, exigiré que el capital obtenido sea el doble del capital inicial

Cálculo del capital obtenido al cabo de N años

Capital inicial: C
Interés del primer año: Como el interés r se expresa en forma de tanto por uno anual, el interés del primer año es C*r
Capital al inicio del segundo año:
Capital inicial + Interés del primer año=C+C*r=C*(1+r)

Reinvertimos ese capital para el segundo año.
Capital al inicio del segundo año: C*(1+r)
Interés del segundo año: C*(1+r)*r
Capital al final del segundo año:
Capital al inicio del segundo año + Interés del segundo año= C*(1+r)+ C*(1+r)*r=C(1+r)*(1+r)=C*(1+r)^2

Al final de los N años, el capital invertido el primer año se ha convertido en
C*(1+r)^N.

Cálculo del tiempo para doblar el capital

Para que el capital obtenido sea el doble del capital inicial, resolvemos la ecuación

2*C=C*(1+r)^N

Simplificando el capital C

2=(1+r)^N

Tomando logaritmos y despejando la N queda

Una fórmula aproximada para determinar N es la regla del 72, que dice que N=72/(100*r). Veámos en la siguiente Tabla los valores de N para la fórmula exacta y para la regla del 72

Rentabilidad anual en tanto por ciento N=72/(100*r)
1 69,7 años 72 años
2 35 36
3 23,4 24
4 17,7 18
5 14,2 14,4
6 11,9 12
7 10,2 10,3
8 9 9
9 8 8
10 7,3 7,2
11 6,6 6,5
12 6,1 6
13 5,7 5,5
14 5,3 5,1
15 5 4,8

Así, con una rentabilidad anual del 9% tardamos 8 años en doblar el capital tanto en la fórmula exacta como en la aproximada.

La fórmula aproximada es una excelente aproximación a la fór7mula exacta y es mucho más simple que ésta.
Podemos usar, por tanto, la fórmula aproximada.

¿Cómo calculo la rentabilidad de la inversión en bolsa?

En este post vamos a aprender el cálculo de la rentabilidad de la inversión en bolsa.

Ejemplo

Desde hace tiempo me planteaba encontrar cómo determinar esa rentabilidad y me encontraba con problemas como el siguiente. Supongamos que hago estas operaciones en bolsa sobre una misma empresa:

1/1/2015 Compra 200 acciones 10 euros/acción
1/1/2016 Compra 300 acciones 11 euros/acción
1/1/2017 Venta 100 acciones 10,5 euros/acción

Tabla 1. Operaciones realizadas

Problema

Si a fecha 1/1/2018 el valor de la acción es de 12 euros, ¿cuál es la rentabilidad que he obtenido con estas compras a fecha 1/1/2018?

Dudas que se me plantean

Me surge esta duda: Las 100 acciones que he vendido el 1/1/2017, ¿pertenecen a la primera compra de acciones?, ¿pertenecen a la segunda compra de acciones?, ¿pertenecen la mitad a la primera compra de acciones y la otra mitad a la segunda compra? NO sabía cómo responder a estas preguntas e imagino que para cada una de las opciones que las preguntas plantean, se obtienen rentabilidades distintas, cosa que no podía entender bien ya que la rentabilidad tiene que ser única.

La solución

La solución consiste en convertir cada operación en dinero y, a partir de ese dinero, aplicar una fórmula de Excel que determina la rentabilidad. Para ello, seguimos estos pasos:

Datos iniciales en euros

Tabla 2. Datos iniciales en euros

Paso 1.

Para cada fecha, convertimos cada operación en dinero. Las compras se escriben con signo negativo y las ventas con signo positivo. Para el día en que queremos averiguar la rentabilidad, el dinero es el que recibiríamos en el supuesto de que vendiéramos todas las acciones. En nuestro ejemplo, resulta la Tabla 2.

El día 1/1/2018 nos quedan 400=200+300-100 acciones. Como el precio de la acción ese día es de 12 euros, el dinero para el día 1/1/2018 es 4800=400*12 y lo ponemos en signo positivo porque consideramos que venderíamos las acciones en ese día.

Cálculo de la rentabilidad de la inversión en bolsa

Tabla 3. Fórmula TIR

Paso 2. Aplicamos la fórmula tir.no.per de Excel a los datos de fechas y dinero invertido/recibido en/de cada operación.

En nuestro ejemplo, la fórmula es

=TIR.NO.PER(B1:B4;A1:A4)

El primer parámetro es el rango donde se encuentra el dinero de cada operación. El segundo parámetro es el rango donde se encuentran las fechas en las que se ha hecho la operación.

Escribimos la fórmula en la celda B5.

Rentabilidad de la inversión

Tabla 4. Rentabilidad de la inversión

Resultado. Se ve en la Tabla 4. A fecha 1/1/2018 la rentabilidad anualizada de nuestra inversión es del 4,58%.

¿Qué capital obtenemos a largo plazo con una inversión mensual?

Capital obtenido a largo plazo con inversión mensual

En esta entrada calculamos el capital obtenido a largo plazo con una inversión mensual.

Planteamiento del problema

Voy a suponer que cada mes invierto un capital C a una tasa de interés r en tanto por uno mensual. Al cabo de N meses y suponiendo la reinversión de los dividendos obtenidos, ¿qué capital acumulado he obtenido?

Para resolver este problema, voy a ver el capital final obtenido a partir del capital invertido cada mes y, después, sumaré esos capitales finales.

¿Cuál es el capital final obtenido a partir del capital invertido al principio del primer mes?

Veamos las cuentas
Capital inicial: C
Interés del primer mes: Como el interés r se expresa en forma de tanto por uno mensual, el interés del primer mes es C*r
Capital al inicio del segundo mes:
Capital inicial + Interés del primer mes=C+C*r=C*(1+r)

Reinvertimos ese capital para el segundo mes.
Capital al inicio del segundo mes: C*(1+r)
Interés del segundo mes: C*(1+r)*r
Capital al final del segundo mes:
Capital al inicio del segundo mes + Interés del segundo mes= C*(1+r)+ C*(1+r)*r=C(1+r)*(1+r)=C*(1+r)^2

Al final de los N meses, el capital invertido el primer mes se ha convertido en
C*(1+r)^N.

¿Cuál es el capital final obtenido a partir del capital invertido al principio del segundo mes?

El cálculo es igual que el del primer mes pero ahora el total de meses en que el capital está invertido es N-1, luego el capital invertido al principio del segundo mes se ha convertido en C*(1+r)^(N-1)

¿En qué se convierte el capital invertido al principio del mes N-1?

Este capital sólo está invertido un mes, luego se convierte en C*(1+r)

¿Cuál es el capital total final obtenido?

Es la suma de todos los capitales anteriores

Capital final=C*(1+r)^N+ C*(1+r)^(N-1)+…+C*(1+r)

Haciendo algunas operaciones matemáticas que no detallamos aquí, el capital final es:

capital final obtenido

Capital obtenido para una inversión mensual C a un interés mensual r durante N meses

Algunos ejemplos

Veamos el capital final que obtendríamos en varios escenarios.

Capital mensual Interés anual en tanto por ciento Años de inversión Capital final obtenido
50 7% 30 61.354 euros
100 9% 30 184.447 euros

Así, invirtiendo 50 euros al mes al 7% de interés anual durante 30 años, el capital que obtendríamos es de 61.354 euros. Si invertimos 100 euros al mes durante 30 años al 9% anual el capital final obtenido es 184.447 euros.