Cálculo del tiempo para doblar un capital

En esta entrada calculamos el tiempo necesario para doblar un capital C. Los cálculos son parecidos a los que hicimos en la entrada Cálculo del capital obtenido a largo plazo con una inversión mensual

Planteamiento del problema

Voy a suponer que cada año invierto un capital C a una tasa de interés r en tanto por uno anual. ¿Cuántos años tardo en tener un capital 2*C?

Para resolver este problema, voy a ver el capital final obtenido a partir del capital invertido cada año y, por último, exigiré que el capital obtenido sea el doble del capital inicial

Cálculo del capital obtenido al cabo de N años

Capital inicial: C
Interés del primer año: Como el interés r se expresa en forma de tanto por uno anual, el interés del primer año es C*r
Capital al inicio del segundo año:
Capital inicial + Interés del primer año=C+C*r=C*(1+r)

Reinvertimos ese capital para el segundo año.
Capital al inicio del segundo año: C*(1+r)
Interés del segundo año: C*(1+r)*r
Capital al final del segundo año:
Capital al inicio del segundo año + Interés del segundo año= C*(1+r)+ C*(1+r)*r=C(1+r)*(1+r)=C*(1+r)^2

Al final de los N años, el capital invertido el primer año se ha convertido en
C*(1+r)^N.

Cálculo del tiempo para doblar el capital

Para que el capital obtenido sea el doble del capital inicial, resolvemos la ecuación

2*C=C*(1+r)^N

Simplificando el capital C

2=(1+r)^N

Tomando logaritmos y despejando la N queda

Una fórmula aproximada para determinar N es la regla del 72, que dice que N=72/(100*r). Veámos en la siguiente Tabla los valores de N para la fórmula exacta y para la regla del 72

Rentabilidad anual en tanto por ciento N=72/(100*r)
1 69,7 años 72 años
2 35 36
3 23,4 24
4 17,7 18
5 14,2 14,4
6 11,9 12
7 10,2 10,3
8 9 9
9 8 8
10 7,3 7,2
11 6,6 6,5
12 6,1 6
13 5,7 5,5
14 5,3 5,1
15 5 4,8

Así, con una rentabilidad anual del 9% tardamos 8 años en doblar el capital tanto en la fórmula exacta como en la aproximada.

La fórmula aproximada es una excelente aproximación a la fór7mula exacta y es mucho más simple que ésta.
Podemos usar, por tanto, la fórmula aproximada.